A basic question in symplectic topology is that of understanding which 2n‐dimensional smooth closed manifolds admit a symplectic structure. There are some obvious homotopical requirements, such as the existence of a cohomology 2‐class whose exterior wedge powers are all non‐zero (up to the maximal degree of the non‐zero cohomology groups) and of a non‐degenerate alternating 2‐form. In dimension 2n=4, Taubes '94 found some additional non‐trivial necessary conditions coming from the deep theory of Seiberg‐Witten invariants. This said, at this time it is still unknown whether there are some non‐trivial geometric conditions in the case of dimensions 2n>4. The research visit of Agustin Moreno is in relation to a joint work of ours together with Lauran Toussaint and Francisco Presas, where we aim to prove that, given any smooth closed 4‐manifold M where all the homotopical necessary conditions to have a symplectic form are satisfied, its product MxT^2 with the 2‐torus T^2 admits a symplectic structure. In other words, up to stabilizing the 4‐manifold by taking a product with the 2‐torus, the non‐trivial geometric conditions of the 4‐dimensional case are no longer important.

Lauran Toussaint, Klaus Niederkruger et moi avons une collaboration en cours sur le thème des feuilletages symplectiques en grandes dimensions. Les feuilletages symplectiques sur les variétés de dimensions impaires sont des feuilletages de codimension 1 pour lesquels il existe une 2- forme sur la variété ambiante qui est symplectique (i.e. non dégénérée et fermée) sur chaque feuille. Si la 2-forme est en plus fermée sur la variété ambiante, le feuilletage est dit symplectique fort. L’interêt pour ce type de feuilletage est motivé par des résultats plutôt récents qui montrent qu’ils sont des objets assez « rigides », i.e. qui n’existent pas sur toute variété de dimension impaire (où il n’y a pas d’obstructions homotopiques), mais qui au contraire donnent des contraintes non banales sur la topologie de la variété ambiante. Dans notre travail en collaboration (en phase de termination), nous donnons une obstruction pour qu’un feuilletage symplectique soit symplectique fort, qui prend la forme d’une sous variété feuilletée qui est dans un certain sens analogue au Plastikstufe introduit par Niederkruger ‘06 dans le cas des variétés de contact.