FR2962

Fédération de Recherche Mathématiques des Pays de Loire

FR CNRS 2962

Willemn van Zuijlen

Nous travaillons sur le modèle d'une marche aléatoires faiblement auto-évitante plongée dans un potentiel à queue lourde. Nous considérons donc une marche aléatoire simple sur le réseau Z^d à temps continu. Cette marche est soumise à deux effets antagonistes. Elle est d'une part faiblement auto-évitante, ce qui signifie qu'elle reçoit une pénalité énergétique à chaque fois qu'elle retourne en un site qu'elle a déjà visité. Ce mécanisme induit une auto-répulsion de la marche et va augmenter sa dispersion. D'autre part, la marche interagit avec son environnement qui est constitué d'un champs de variables aléatoires positives indépendantes, identiquement distribuées et localisées en chacun des sites de Z^d. Ces variables aléatoires sont à queues lourdes, ce qui signifie qu'un petit nombre parmi elles ont des valeurs beaucoup plus grandes que toutes les autres. A chaque fois que notre marche aléatoire visite un site de Z^d, elle se voit attribuer un prix énergétique égal à la valeur de la variables située sur ce site. Ce second mécanisme a clairement un effet antagoniste au précédent. En effet, pour maximiser sa récompense énergétique la marche va se concentrer sur les sites à fort potentiel ce qui restreindra fortement sa dispersion. De cette compétition, nait l'espoir d'observer de nouveaux phénomènes de localisation partielle d'une marche aléatoire.

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Wolgang Koenig

Nous travaillons sur le modèle d'une marche aléatoires faiblement auto-évitante plongée dans un potentiel à queue lourde. Nous considérons donc une marche aléatoire simple sur le réseau Z^d à temps continu. Cette marche est soumise à deux effets antagonistes. Elle est d'une part faiblement auto-évitante, ce qui signifie qu'elle reçoit une pénalité énergétique à chaque fois qu'elle retourne en un site qu'elle a déjà visité. Ce mécanisme induit une auto-répulsion de la marche et va augmenter sa dispersion. D'autre part, la marche interagit avec son environnement qui est constitué d'un champs de variables aléatoires positives indépendantes, identiquement distribuées et localisées en chacun des sites de Z^d. Ces variables aléatoires sont à queues lourdes, ce qui signifie qu'un petit nombre parmi elles ont des valeurs beaucoup plus grandes que toutes les autres. A chaque fois que notre marche aléatoire visite un site de Z^d, elle se voit attribuer un prix énergétique égal à la valeur de la variables située sur ce site. Ce second mécanisme a clairement un effet antagoniste au précédent. En effet, pour maximiser sa récompense énergétique la marche va se concentrer sur les sites à fort potentiel ce qui restreindra fortement sa dispersion. De cette compétition, nait l'espoir d'observer de nouveaux phénomènes de localisation partielle d'une marche aléatoire.

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Mourad Nachaoui

Ce projet entre dans le cadre d’une coopération entre des membres du laboratoire Jean Leray de l'Université de Nantes et Mourad NACHAOUI, ancien doctorant de notre laboratoire, actuellement professeur habilité à l'Université Sultan Moulay Slimane de Beni-Lellal (Maroc).

Les résultats scientifiques attendus de ce séjour concernent la finalisation de certains problèmes déjà commencés.

1) Le premier problème concerne l’élaboration de nouveaux algorithmes alternatifs basés sur la relaxation pour la résolution du problème de Cauchy pour l’équation de Helmholtz. Contrairement aux résultats existants, nous démontrons que les algorithmes proposés convergent pour tout choix du nombre d’onde et sans considérer l'équation de Helmholtz modifiée.

2) Le deuxième problème consiste à appliquer les résultats récemment obtenus en collaboration avec le laboratoire de Mathématiques Jean Leray pour la résolution d’un problème d’écoulement de fluide en modélisant un problème d’environnement.

3) Le troisième problème consiste à utiliser les résultats récemment obtenus en collaboration avec le laboratoire de Mathématiques Jean Leray pour la résolution d’un modèle inverse appliqué à la météorologique.

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Murad Taqqu

Professeur Murad Taqqu est un de meilleur spécialistes dans le domaine de processus a longue mémoire, en particulier, les processus fractionnaires. Lors de son visite on a travaillé sur le problème de la répartition de Rosenblatt. Cette répartition admet plusieurs caractérisations implicites équivalentes. Par exemple, elle peut être considérée comme la probabilité induite par la double intégrale d’un certain noyau par rapport à la mesure de Wiener ou, alternativement, par la série de \ chi ^ 2 variables aléatoires pondérées et centrées. Malheureusement, de telles caractérisations apportent peu de lumière sur les caractéristiques de la répartition, telles que les moments, la fonction caractéristique, les queues, etc. Beaucoup de ces détails restent inconnus. Exact schéma d'échantillonnage reste une question ouverte difficile. Avec Murad Taqqu on a étudié un lien entre la répartition de Rosenblatt et le problème de factorisation des opérateurs de Fredholm.

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Fatima Aboud

Fatima Aboud Alsamaraie est directrice du département de mathématiques de l'université de Diyala, Irak. Elle est Coordinatrice des activités du CIMPA en Irak et présidente du commité West Asian Mathematical Schools du CIMPA. Elle est l’invitée d’Abdeljalil NACHAOUI au Laboratoire de Mathématiques Jean Leray du 1er juillet au 31 août 2019. Son séjour à Nantes est l'occasion d'approfondir une collaboration qui porte sur la résolution mathématique et numérique des problèmes inverses de reconstruction de données sur le bord, régis par l'équation de Helmholtz. Nous travaillerons sur une technique d'accélération de la convergence et confirmerons nos résultats théoriques par l'implémentation de quelques exemples numériques.

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Patrice Sawyer

Avec Patrice Sawyer nous avons une dizaine de publications, e.a. dans Journal Geometric Anal., J. Funct.Anal., J. Lie Theory, PAMS,
qui ont été couronné par un survey : P. Graczyk and P. Sawyer. The Convolution of orbital measures on symmetric spaces: a survey,Proceedings of the Conference Probability on Algebraic and Geometric Structures, Contemporary Mathematics, Vol. 668, 81-110, 2016.
Le contexte de notre travail actuel est constitué par les espaces symétriques associés aux groupes de mouvements de Cartan et aux systèmes de racines, ainsi qu’à l’analyse de Dunkl. Les applications probabilistes de notre travail concernent les Brownien de Dyson et les Browniens dans une chambre de Weyl.

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Olaf Post

Olaf Post est venu une première fois en 2013. Nous avons entamé une collaboration qui a abouti à la prépublication citée. Dans ce texte nous faisons un premier tableau de nos résultats, mais la rédaction n’était pas finalisée. Nous avons à partir de là rédigé un premier article soumis, qui se concentre sur la convergence en norme de la résolvante du Laplacien dans le cas de perturbations sauvages, ces résultats s’appliquent en particulier à la perturbation par excision de beaucoup de petits trous. Il nous reste à finaliser d’autres situations comme l’ajout de beaucoup de petites anses.

Nos résultats portent sur deux types de situation : fading ou la perturbation disparaît à la limite, et solidifying ou la perturbation change drastiquement le problème limite. Nous voudrions aussi pendant ce séjour aborder le cas intermédiaire qui a plutôt été traité jusqu’à présent dans le cadre de l’homogénisation. Un travail récent de O. Post, en collaboration avec A. Khrabustovskyi, va aussi dans ce sens.

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Moustafa Ibrahim

La formation de patterns est le processus qui, en changeant un paramètre de bifurcation, les états stationnaires homogènes d'un système de réaction-diffusion perdent leur stabilité pour des petites perturbations spatiales, et des solutions stables non homogènes se produisent. Notre projet consiste à mettre en évidence la formation de patterns pour un système parabolique modélisant l'effet de remplissage de volume pour un modèle de chimiotaxie, plus précisément le modèle de Keller-Segel.

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Ivan Moyano

Ivan Moyano is a researcher from Cambridge University.
He is specialized in control theory, with works with colleagues coming from different communities (kinetic theory, control theory and PDE analysis). Together with Frédéric Hérau, they will work on control problem for hypoco-ercive/hypoelliptic operators. This type of problem has already been tackled in some particular situations (tensor phase space, disseminated zones of control) but not so far in general control domains.

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Lucia Lopez

Lucia Lopez de Medrano travaille en collaboration avec Erwan Brugallé sur la topologie des variétés tropicales. Ils ont montré dans un travail antérieur que, de manière surprenante, les variétés tropicales satisfont à des contraintes topologiques moins fortes que les variétés algébriques complexes. Il s'agit maintenant de comprendre plus finement les contraintes topologiques tropicales.

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