L’objectif de la collaboration est d’étudier les liens entre les Kato limites [Carron, Mondello, Tewodrose 2021] qui sont les espaces limites de variétés riemanniennes à courbure de Ricci dans une classe de Kato uniforme, et les espaces de Dirichlet « tamed » [Erbar-Rigoni-Sturm-Tamanini 2020, Braun 2021] qui satisfont une condition synthétique de courbure de Ricci dans une classe de Kato. Il s’agira de mettre en perspective les résultats connus dans chacun de ces deux cadres afin qu’ils apportent un éclairage nouveau l’un sur l’autre. On recherchera également une condition lagrangienne équivalente à la condition eulérienne des espaces de Dirichlet « tamed », dans l’esprit de la formulation en terme de transport optimal des conditions de courbure-dimension CD(K,N) introduites par Lott, Sturm et Villani.

Christian Rose (https://www.tu-chemnitz.de/mathematik/analysis/rose/) is going to defend his phD thesis under the direction of P. Stollmann at the Technische University Chemnitz (Germany). G. Carron and C. Rose has worked separately on Riemannian manifolds whose Ricci curvature is in some Kato class. G. Carron : Geometric inequalities for manifolds with Ricci curvature in the Kato class arXiv 161203027. C. Rose: Heat kernel upper bound on Riemannian manifolds with locally uniform Ricci curvature integral bounds. preprint arXiv:1601.07438. Journal of Geometric Analysis, DOI: 10.1007/s12220-016-9738-3 C. Rose: Li-Yau gradient estimate for compact manifolds with negative part of Ricci curvature in the Kato class, preprint arXiv:1608.04221. C. Rose, P. Stollmann: The Kato class on compact manifolds with integral bounds of Ricci curvature. Preprint arXiv:1601.07441. After these papers, they want to investigate several questions : -Is it possible to get some optimal eigenvalue estimate à la Bakry-Qian in this setting ? -Is it possible to show directly that a L^p bound on the Ricci curvature leads to a control of the Ricci curvature in some Kato class. -Is it possible to estimate the Gromov-Hausdorff distance to a flat tori when the Ricci curvature is small in the Kato class and when the first Betti number of the manifold is equal to the dimension.

Clara Aldana viendra à Nantes du 12 Janvier au 19 Janvier pour travailler avec Samuel Tapie et Gilles Carron et exposer ces travaux au séminaire.Elle est actuellement Post-doc au Luxembourg.

Notre projet est l’étude des métriques dans une classe conforme : on désire dégager des nouvelles conditions géométriques qui contraignent ces métriques à vivre dans un compact.